2021-06-11
中考数学必考题型:将军饮马模型与最值题目
看这个标题,是否有栽被欺骗的感觉?

将军饮马题目,这个再平常不过的初中经典模型,怎么能够没听过呢?而且行为一个中考的炎点题型,基本上年年考。可是,不论基础的照样难度偏大的,每年都有一大批考生丢分。

为何?无非就是对于这栽题型的来龙往脉含糊其辞,而有关的数学底层逻辑又异国理解透澈,最主要的一点就是解决这一栽类型题的通用手段异国融会贯通!

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最先,吾们先来晓畅一下什么叫做将军饮马!

“白日登山看烽火,薄暮饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军走》里的一句诗。而由此却引申出一系列专门乐趣的数学题目,清淡称为“将军饮马”。

如下图(左),将军在图中点A处,现在他要带马往河边喝水,之后返回军营,问:将军怎么走能使得路程最短?

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将此类题目抽象为数学题目:即在河的一侧找一点P,使AP+BP的值最幼!如上图(右)。

这个题目的难点在于PA+PB是一段折线段,经过不悦目察图形很可贵出效果。

而几何的最幼值题目,吾们在初一阶段就已经学过:(1)两点之间,线段最短;(2)点到直线的连线中,垂线段最短。

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因此,想要解决这一类型的题目,转化思维这以数学思维手段不走避免,即将众段折线转化为一条线段!

其次,怎么解决这一类型的题现在?

对于将军饮马题目,如下图左,作点A关于直线的对称点A’,连接PA’,则PA’=PA,因此PA+PB=PA’+PB

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当A’、P、B三点共线的时候,如上右图PA’+PB=A’B,此时为最幼值(两点之间线段最短)。

一句话总结:动点P在哪一条线上,那条线就是对称轴。然后做其中一个定点A关于对称轴的对称点A’,连接A’B,与对称轴的交点即为所求的P点。

而关于将军饮马题目的题型,又分为:①两定一动模型(点到点);②两定两动模型(点到点);③必定两动模型(点到线)。

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题型一 将军饮马中两定一动模型与最值题目

这类题目的解法主要是经过轴对称,将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧,转化为两点之间线段最短题目。

【模型分析】

在OA、OB上别离取点M、N,使得△PMN周长最幼.

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此处M、N均为折点,欧宝资讯别离作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’,当P’、M、N、P’’共线时,△PMN周长最幼.

【例题讲解】

如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AB=8,P是AC上一动点,则PB+PE的最幼值_____.

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【详解】解:如图:连接DE交AC于点P,此时PD=PB,

PB+PE=PD+PE=DE为其最幼值,

∵四边形ABCD为正方形,且BE=2,AB=8,

∴∠DAB=90°,AD=AB=8,AE=AB-BE=6,

在Rt△ADE中,按照勾股定理,得DE=10.

∴PB+PE的最幼值为10.

故答案为10.

【巩固演习】

1、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a+2x+c与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

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(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;

(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最幼,求出点M的坐标;

(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,乞求出相符条件的点P的坐标;若不存在,请表明理由.

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专题幼结:本文所涉及到的将军饮马模型与最值题目,题现在相对较浅易!而这浅易的模型,也正是整个将军饮马题目的基础。坚信,基础巩固益之后,再提战难度更大的题现在会更添地得心答手!